【OOMN-077】母子相姦 求めあう母と息子のムスコ 4時間 25名 陶哲轩高徒撬动数十年难题，这个华东谈主推敲生联手MIT解谜等差数列！

新智元报谈 【OOMN-077】母子相姦 求めあう母と息子のムスコ 4時間 25名

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【新智元导读】组合数学领域的一个难题，澈底无序的数学不行能性，被UCLA华东谈主推敲生和两位MIT推敲生取得了突破！为此，他们强化了陶哲轩的一项后果，并再进一步。这是数十年来该领域的初度进展。

刚刚，组合数学领域最大的未解之谜之一——澈底无序的数学不行能性，取得了数十年来的初度进展。

突破这项竖立的是，是UCLA的华东谈主推敲生James Leng，以及两位MIT推敲生Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney。

本年2月，三东谈主晓喻，他们对整数辘集在必须包含终止均匀的数字序列（如{9， 19， 29， 39， 49}或{30， 60， 90， 120}）之前能有多大的揣度值，进行了恒久的纠正。

这个阐扬，即是组合数学领域最大的未措置问题之一。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2402.17995

这一后果，也在数学圈内引起了震荡。

牛津大学数学家Ben Green默示，几位学生的后果，令东谈主印象深刻。尤其是后果发布时，三东谈主都还在读推敲生。

算术级数问题

级数（progression）是一列展现出特定方法的数或项，即每一项都对前一项应用特定例则而得到，也可称之为序列。

数学中，级数主要有三种类型，包括算数级数、几何级数以及调处级数。

有章程终止的数字序列，称为算术级数（arithmetic progression），咱们更熟习的说法是等差数列。

尽管方法浮浅，但它们背后守密着令东谈主牵记的数学复杂性。

更神奇的是，无论咱们如何勤苦，算术级数都很难幸免。

1936年，数学家Paul Erdős和Pál Turán推测，如若一个辘集由整数的非零分数构成（哪怕只好0.00000001%），那么它一定包含率性长的算术级数。

惟一不错幸免算术级数的辘集，即是那些包含整数「可忽略不计」部分的辘集。

举例，辘集 {2， 4， 8， 16， …}，其中每个数字都是前一个数字的两倍，它沿着数轴溜达得如斯永别，甚而于不错说它占据通盘数字辘集的0%。

因此，这个辘集莫得级数。

四十年后的1975年，这个猜想被一位叫Endre Szemerédi的数学家阐扬了。

而他的责任，催生了开阔推敲主见，于今仍在令数学家们探索。

Sah和Sawhney的MIT博导Yufei Zhao这样先容谈：「他阐扬中的很多想法，都发展成了我方的寰宇」。

Yufei Zhao

数学家们将Szemerédi的适度应用于有限数集。

在这种情况下，咱们需要从一个有限的辘集开动——从1到N之间的每一个整数。

在不行幸免地包含一个被退却的级数之前，咱们在肇端麇聚合能使用的最大部分是几许？

跟着N的变化，这个部分会如何变化？

比如，令N为20。

咱们不错写下这20个数字中的几许个，同期仍能幸免长度为5个或更多数字的级数？

事实阐扬，谜底是肇端辘集的16%到80%。

论文地址：https://www.jstor.org/stable/2005105

当今，令N为1，000，000。

如若咱们使用了这个池子中的80%，那么咱们将看到包含800，000个数字的辘集。

这样大的辘集，是不行能幸免五项级数的。

因此，咱们将不得不使用池子中较小的部分。

算术级数达到4项时，就会「咬东谈主」

Szemerédi是第一个阐扬「跟着N的增长，这个部分必须消弱到零」的东谈主。

从那时起，数学家们就一直试图量化这种情况发生的速率。

旧年，两位打算机科学家的突破性责任险些措置了三项级数的问题，举例 {6， 11， 16}。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2302.05537

但是，每当咱们试图幸免使用四项或更多项的算术级数时，问题就会变得愈加毒手。

用Sawhney的话来说即是，「我可爱这个问题的少许即是，它看起来很单纯，但事实并非如斯。这个问题会咬东谈主。」

这是因为，较长的级数响应了经典数学技能难以发现的潜在结构。

三项算术级数中的数字x、y和z，老是高慢浮浅方程x-2y+z=0（以级数 {10、20、30} 为例：10 – 2(20) + 30 = 0）。

要阐扬一个麇聚合是否包含高慢这种条目的数，是比较容易的。

但是，四项级数中的数字还必须高慢更复杂的方程x^2 - 3y^2 + 3z^2 - w^2 = 0。

这就意味着，包含这些级数的辘集中呈现出更秘要的方法。

想要阐扬这种规章是否存在，对数学家们来说，也就更难了。

终于，在1990年代，法兰西学院数学家Timothy Gowers提议了一种表面，克服了这种勤恳。

这项责任发表后，径直促成了他拿到菲尔兹奖——数学界的最高荣誉。

2001年，他将我方的后果应用于Szemerédi定理，阐扬了最大辘集大小的更好界限，幸免了任何给定长度的算术级数。

在接下来的二十年里，固然数学家们使用了Gowers的框架措置了其他问题，但他在2001年的记录，仍旧保合手着褂讪。

华东谈主推敲生，冲突推敲弊端

2022年，那时正在UCLA读推敲生二年事的Leng，开动推敲Gowers的表面。

他脑子里并莫得装着Szemerédi定理，相悖，他但愿我方能措置一个由Gowers发展出的技能有关的问题。

其他数学家并不看好，顾虑他措置问题所需要破钞的元气心灵太大了，与之比较可能得到的适度根柢微不足道，于是纷繁规劝他。

Leng自后评价谈：「他们是有道理的。」

整整一年多的时候，他都一无所获。

但是某一天开动，他忽然作念出了某些东西。

而一直在推敲有关问题的Sah和Sawhney看到他的责任后，默示了庞杂的好奇。

用Sawhney的话说，「我很骇怪，竟然还不错这样想考。」

他们意志到，Leng的推敲可能匡助他们在Szemerédi定理上取得进展。

几个月后，他们作念到了！

这三位年青的数学家猜想了一个成见，在莫得五项本事的情况下，赢得了更好的辘集大小上限。（也即是咱们开头看到的那篇论文）

然后，他们将责任推广到了率性长度的级数，这象征着Gowers阐扬以来的23年里，这个问题初度取得了进展。

Gowers也曾阐扬，当肇端数字池变大时，咱们不错作念出的幸免进展的辘集，会以某种速率变得相对较小。

而当今， Leng、Sah和Sawhney阐扬，这种情况发生的速率要快得多。

而导师Zhao对学生们的责任有目共赏：「这是一项庞杂的竖立。但我不会建议任何学生攻克这种问题，因为它的确太难了。」

很多数学家都对三东谈主赢得新界限关节感到荒谬高兴。

为了胜仗措置问题，他们必须先强化一项先前的、本事性更强的后果。

这项后果来自牛津大学的Ben Green、陶哲轩和希伯来大学的Tamar Ziegler。

数学家们认为，这一适度（Gowers表面的某种发扬）不错进一步纠正。

Green先容说：「我的嗅觉是，咱们对这个表面的意会也并不完善，咱们仅仅看到了它的一些影子。」

自从2月份发表这篇论文后，Sawhney也曾完成了他的博士学位。当今，他是哥大的别称助理讲授。

Sah仍然在MIT攻读推敲生。

Sah在MIT校园中

两东谈主仍在接续衔尾。

导师Zhao批驳谈：「他们令东谈主难以置信的上风就在于，简略给与本事要求极高的东西，何况去意会它、纠正它。他们的举座竖立难以言喻。」

论文概括

在这项责任中，推敲者令r_k(N)默示 [N]= {1，...，N} 中最大且不存在k项等差数列的子集的大小。

他们阐扬了，对于k≥5，存在c_k> 0，使得 。

这个阐扬是基于Gowers U^k-范数逆定理的准多项式界值，以及由Heath-Brown和Szemerédi提议的密度增量计谋，后者由陶哲轩和Green再行作念了表述。

设「N」= {1，...，N}，r_k(N) 默示在S莫得k项算术级数的情况下， 中最大的S。

r_3（N）的第一个非宽泛上界，来自Roth的推敲，他阐扬了 。

自后的一系列推敲中，数学家们又将阐扬突破到了 。

对于更高的k，Erdős和Turán的一个恒久猜想认为r_k(N) = o(N)。

在始创性的责任中，Szemerédi当先成立了r_4(N) = o(N) 的揣度，然后成立了以他定名的定理r_k(N) = o(N)。

由于使用了van der Waerden定理和章程性引理，Szemerédi的后果密度增量极小。

而在随后的突破性责任中，Gowers引入了高阶傅里叶分析，并为Szemerédi定理阐扬了第一个「可行」的上界： 。

对于k≥4的惟一显耀纠正，来自Green和陶哲轩的责任，他们最终阐扬了 。

最近，推敲者们的责任又阐扬了 。

而三位作家这次的主要适度，是将这一上界推广到了所有这个词k≥5。

即定理1.1——

随后，他们阐扬了：对于给定「N」中的无序序列表，不错将「N」理会为一个受控的算术级数辘集，从而使这些序列上的无序序列基本保合手恒定。

在这个经由中，他们选用了以下几项引理。

哥也色

在第三节中，他们讹诈了Green和陶哲轩提议的Heath-Brown和Szemerédi密度增量计谋。

最终，生效完成了阐扬。

MIT本科生，鼓吹图论推敲前沿

其实，早在Sah和Sawhney在MIT读本科时，两东谈主就作念出了令东谈主印象深刻的责任。

两东谈主相识后，一谈发表了57个令东谈主难以置信的数学阐扬，很多都在各个领域取得了长远进展。

在2020年5月，Sah在组合学最垂死的问题中，就发表了有史以来最好的适度，而这仅仅他本科时间发表的一长串数学适度其中的一部分。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2005.09251

在这篇论文中，Sah重心推敲了组合学的一个垂死特征——拉姆都数，它量化了图（由边贯穿的点或过头的辘集）在势必包含某种子结构之前不错达到多大。

跟着咱们要寻找的门户范畴越来越大的，打算精准的拉姆都数变得荒谬弯曲。

在20世纪30年代，Paul Erdős和George Szekeres发起了拉姆都数上限和下限的推敲。

而Sah的阐扬，纠正了双色拉姆都数的上限。他阐扬：一朝图达到一定大小，就势必会包含某个相应大小的门户。

这就将现存的推扣门道推向了逻辑极限，不错说是为该问题设定了当前的最好上限。

领域内的很多东谈主认为，Sah的阐扬是讹诈现存推扣门道不错罢了的最好适度。

加州理工学院的David Conlon这样评价：「当作一个本科生，他的后果也曾有余让他赢得教职了」。

作家先容

James Leng本科毕业于加州大学伯克利分校，当前是UCLA数学系的在读推敲生，与陶哲轩共同衔尾。他的推敲领域包括算术组合数学、能源系统和傅里叶分析，主要关心高阶傅里叶分析。

Ashwin Sah从2020年起成为MIT的数学系推敲生，由Yufei Zhao请示，推敲好奇包括组合数学、概率论和数论。

Mehtaab Sawhney当前是哥伦比亚大学助理讲授，同期担任Clay数学推敲所的推敲员，他的推敲相似关心组合数学、概率论和表面打算机科学。

在俄勒冈州波特兰长大的Sah，16岁时赢得奥数金牌，17岁就读于MIT，两年半后毕业。

在MIT的第一年，他上了Yufei Zhao讲授的两门课，其中一门是对于组合学的推敲生水平推敲课。

在全寰宇最有才华的数学学生中，Sah仍然能脱颖而出。

11岁的Sah最早的顾虑之一，即是和姆妈一谈学算术

在课堂上，Sah清爽了高一级的学生，从宾大转学到MIT的Sawhney。

两东谈主结子后，推敲了闹翻数学中的一系列主题，举例图论、概率和立时矩阵的性质。

Sawhney默示，「我可爱那些不错从基本道理开赴想考的问题，不需要阅读大都文件或了解大都表面就不错开动想考」。

导师Zhao对两东谈主的速率印象深刻。他会要求两东谈主推敲一个特定的问题，以为接下来他们有的忙了。

推敲词，频繁是第二天，他们就带着谜底回首。Zhao的评价是，「他们都是元气心灵荒谬充沛的东谈主。我每提议一个问题，都会坐窝收到回应。」

本科的三年里，Sah和Sawhney撰写了数十篇论文，何况赢得了2021年的摩根奖。

Zhao默示，二东谈主的竖立莫得前例。「本科生推敲有着悠久的传统，但在数目和质料上都无法达到他们俩的水平」。

参考贵寓：

https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/